Большая энциклопедия онлайн
МНОГОГРАННИК
МНОГОГРАННИК, часть пространства, ограниченная совокупностью конечного числа плоских многоугольников

(см. ГЕОМЕТРИЯ), соединенных таким образом, что каждая сторона любого многоугольника является стороной ровно одного другого многоугольника (называемого смежным), причем вокруг каждой вершины существует ровно один цикл многоугольников. Эти многоугольники называются гранями, их стороны – ребрами, а вершины – вершинами многогранника.

На рис. 1 представлены несколько известных многогранников. Первые два служат примерами р-угольных пирамид, т.е. многогранников, состоящих из р-угольника, называемого основанием, и р треугольников, примыкающих к основанию и имеющих общую вершину (называемую вершиной пирамиды). При р = 3 (см. рис. 1,а) основанием может служить любая грань пирамиды. Пирамида, основание которой имеет форму правильного р-угольника, называется правильной р-угольной пирамидой. Так, можно говорить о квадратных, правильных пятиугольных и т.д. пирамидах. На рис. 1,в, 1,г и 1,д приведены примеры некоторого класса многогранников, вершины которых можно разделить на два множества из одинакового числа точек; точки каждого из этих множеств являются вершинами р-угольника, причем плоскости обоих p-угольников параллельны. Если эти два р-угольника (основания) конгруэнтны и расположены так, что вершины одного р-угольника соединены с вершинами другого р-угольника параллельными прямолинейными отрезками, то такой многогранник называется р-угольной призмой. Примерами двух р-угольных призм могут служить треугольная призма (р = 3) на рис. 1,в и пятиугольная призма (р = 5) на рис. 1,г. Если же основания расположены так, что вершины одного р-угольника соединены с вершинами другого р-угольника зигзагообразной ломаной, состоящей из 2р прямолинейных отрезков, как на рис. 1,д, то такой многогранник называется р-угольной антипризмой.



Рис. 1. МНОГОГРАННИКИ. а – тетраэдр, или пирамида с треугольными гранями; б – пирамида с треугольными гранями и квадратным основанием; в – треугольная призма; г – пятиугольная призма; др-угольная антипризма; е – исключенный тип многогранника с пересекающимися гранями.

Кроме двух оснований, у р-угольной призмы имеются р граней – параллелограммов. Если параллелограммы имеют форму прямоугольников, то призма называется прямой, а если к тому же основаниями служат правильные р-угольники, то призма называется прямой правильной р-угольной призмой. р-угольная антипризма имеет (2p + 2) граней: 2р треугольных граней и два p-угольных основания. Если основаниями служат конгруэнтные правильные р-угольники, а прямая, соединяющая их центры, перпендикулярна их плоскостям, то антипризма называется прямой правильной р-угольной антипризмой.

В определении многогранника последняя оговорка сделана для того, чтобы исключить из рассмотрения такие аномалии, как две пирамиды с общей вершиной. Теперь мы введем дополнительное ограничение множества допустимых многогранников, потребовав, чтобы никакие две грани не пересекались, как на рис. 1,е. Любой многогранник, удовлетворяющий этому требованию, делит пространство на две части, одна из которых конечна и называется «внутренней». Другая, оставшаяся часть, называется внешней.

Многогранник называется выпуклым, если ни один прямолинейный отрезок, соединяющий любые две его точки, не содержит точек, принадлежащих внешнему пространству. Многогранники на рис. 1,а, 1,б, 1,в и 1,д выпуклые, а пятиугольная призма на рис. 1,г не выпуклая, так как, например, отрезок PQ содержит точки, лежащие во внешнем пространстве призмы.

ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ

Выпуклый многогранник называется правильным, если он удовлетворяет следующим двум условиям:

(i) все его грани – конгруэнтные правильные многоугольники;

(ii) к каждой вершине примыкает одно и то же число граней.

Если все грани – правильные р-угольники и q из них примыкают к каждой вершине, то такой правильный многогранник обозначается {p, q}. Это обозначение было предложено Л.Шлефли (1814–1895), швейцарским математиком, которому принадлежит немало изящных результатов в геометрии и математическом анализе.

Существуют невыпуклые многогранники, у которых грани пересекаются и которые называются «правильными звездчатыми многогранниками». Так как мы условились такие многогранники не рассматривать, то под правильными многогранниками мы будем понимать исключительно выпуклые правильные многогранники.

Платоновы тела. На рис. 2 изображены правильные многогранники. Простейшим из них является правильный тетраэдр, гранями которого служат четыре равносторонних треугольника и к каждой из вершин примыкают по три грани. Тетраэдру соответствует запись {3, 3}. Это не что иное, как частный случай треугольной пирамиды. Наиболее известен из правильных многогранников куб (иногда называемый правильным гексаэдром) – прямая квадратная призма, все шесть граней которой – квадраты. Так как к каждой вершине примыкают по 3 квадрата, куб обозначается {4, 3}. Если две конгруэнтные квадратные пирамиды с гранями, имеющими форму равносторонних треугольников, совместить основаниями, то получится многогранник, называемый правильным октаэдром. Он ограничен восемью равносторонними треугольниками, к каждой из вершин примыкают по четыре треугольника, и следовательно, ему соответствует запись {3, 4}. Правильный октаэдр можно рассматривать и как частный случай прямой правильной треугольной антипризмы. Рассмотрим теперь прямую правильную пятиугольную антипризму, грани которой имеют форму равносторонних треугольников, и две правильные пятиугольные пирамиды, основания которых конгруэнтны основанию антипризмы, а грани имеют форму равносторонних треугольников. Если эти пирамиды присоединить к антипризме, совместив их основания, то получится еще один правильный многогранник. Двадцать его граней имеют форму равносторонних треугольников, к каждой вершине примыкают по пять граней. Такой многогранник называется правильным икосаэдром и обозначается {3, 5}. Помимо четырех названных выше правильных многогранников, существует еще один – правильный додекаэдр, ограниченный двенадцатью пятиугольными гранями; к каждой его вершине примыкают по три грани, поэтому додекаэдр обозначается как {5, 3}.



Рис. 2. ПЛАТОНОВЫ ТЕЛА, или правильные многогранники, имеют в качестве граней конгруэнтные правильные многоугольники, причем число граней, примыкающих к каждой вершине, одинаково. Таковы, как показано на рисунке, тетраэдр, куб (или гексаэдр), октаэдр, икосаэдр и додекаэдр. Первое число в скобках указывает, сколько сторон у каждой грани, второе – число граней, примыкающих к каждой вершине.

Пять перечисленных выше правильных многогранников, часто называемых также «телами Платона», захватили воображение математиков, мистиков и философов древности более двух тысяч лет назад. Древние греки даже установили мистическое соответствие между тетраэдром, кубом, октаэдром и икосаэдром и четырьмя природными началами – огнем, землей, воздухом и водой. Что касается пятого правильного многогранника, додекаэдра, то они рассматривали его как форму Вселенной. Эти идеи не являются одним лишь достоянием прошлого. И сейчас, спустя два тысячелетия, многих привлекает лежащее в их основе эстетическое начало. О том, что они не утратили свою притягательность и поныне, весьма убедительно свидетельствует картина испанского художника Сальвадора Дали Тайная вечеря.

Древними греками исследовались также и многие геометрические свойства платоновых тел; с плодами их изысканий можно ознакомиться по 13-й книге Начал Евклида

(см. также ГЕОМЕТРИЯ). Изучение платоновых тел и связанных с ними фигур продолжается и поныне. И хотя основными мотивами современных исследований служат красота и симметрия, они имеют также и некоторое научное значение, особенно в кристаллографии. Кристаллы поваренной соли, тиоантимонида натрия и хромовых квасцов встречаются в природе в виде куба, тетраэдра и октаэдра соответственно. Икосаэдр и додекаэдр среди кристаллических форм не встречаются, но их можно наблюдать среди форм микроскопических морских организмов, известных под названием радиолярий.

Число правильных многогранников. Естественно спросить, существуют ли кроме платоновых тел другие правильные многогранники. Как показывают следующие простые соображения, ответ должен быть отрицательным. Пусть {p, q} – произвольный правильный многогранник. Так как его гранями служат правильные р-угольники, их внутренние углы, как нетрудно показать, равны (180 – 360/р) или 180(1 – 2/р) градусам. Так как многогранник {p, q} выпуклый, сумма всех внутренних углов по граням, примыкающим к любой из его вершин, должна быть меньше 360 градусов. Но к каждой вершине примыкают q граней, поэтому должно выполняться неравенство

где символ < означает «меньше чем». После несложных алгебраических преобразований полученное неравенство приводится к виду

Нетрудно видеть, что pи qдолжны быть больше 2. Подставляя в (1) р = 3, мы обнаруживаем, что единственными допустимыми значениями q в этом случае являются 3, 4 и 5, т.е. получаем многогранники {3, 3}, {3, 4} и {3, 5}. При р = 4 единственным допустимым значением q является 3, т.е. многогранник {4, 3}, при р = 5 неравенству (1) также удовлетворяет только q = 3, т.е. многогранник {5, 3}. Приp > 5 допустимых значений q не существует. Следовательно, других правильных многогранников, кроме тел Платона, не существует.

Все пять правильных многогранников перечислены в таблице, приведенной ниже. В трех последних столбцах указаны N0 – число вершин, N1 – число ребер и N2 – число граней каждого многогранника.

К сожалению, приводимое во многих учебниках геометрии определение правильного многогранника неполно. Распространенная ошибка состоит в том, что в определении требуется лишь выполнение приведенного выше условия (i), но упускается из виду условие (ii). Между тем условие (ii) совершенно необходимо, в чем проще всего убедиться, рассмотрев выпуклый многогранник, удовлетворяющий условию (i), но не удовлетворяющий условию (ii). Простейший пример такого рода можно построить, отождествив грань правильного тетраэдра с гранью еще одного тетраэдра, конгруэнтного первому. В результате мы получим выпуклый многогранник, шестью гранями которого являются конгруэнтные равносторонние треугольники. Однако к одним вершинам примыкают три грани, а к другим – четыре, что нарушает условие (ii).

ПЯТЬ ПРАВИЛЬНЫХ МНОГОГРАННИКОВ

Название

Запись Шлефли

N0 (число вершин)

N1 (число ребер)

N2 (число граней)

Тетраэдр

{3, 3}

4

6

4

Куб

{4, 3}

8

12

6

Октаэдр

{3, 4}

6

12

8

Икосаэдр

{3, 5}

12

30

20

Додекаэдр

{5, 3}

20

30

12



Свойства правильных многогранников. Вершины любого правильного многогранника лежат на сфере (что вряд ли вызовет удивление, если вспомнить, что вершины любого правильного многоугольника лежат на окружности). Помимо этой сферы, называемой «описанной сферой», имеются еще две важные сферы. Одна из них, «срединная сфера», проходит через середины всех ребер, а другая, «вписанная сфера», касается всех граней в их центрах. Все три сферы имеют общий центр, который называется центром многогранника.

Двойственные многогранники. Рассмотрим правильный многогранник {p, q} и его срединную сферу S. Средняя точка каждого ребра касается сферы. Заменяя каждое ребро отрезком перпендикулярной прямой, касательной к S в той же точке, мы получим N1 ребер многогранника, двойственного многограннику {p, q}. Нетрудно показать, что гранями двойственного многогранника служат правильные q-угольники и что к каждой вершине примыкают р граней. Следовательно, многограннику {p, q} двойствен правильный многогранник {q, p}. Многограннику {3, 3} двойствен другой многогранник {3, 3}, конгруэнтный исходному (поэтому {3, 3} называется самодвойственным многогранником), многограннику {4, 3} двойствен многогранник {3, 4}, а многограннику {5, 3} – многогранник {3, 5}. На рис. 3 многогранники {4, 3} и {3, 4} показаны в положении двойственности друг другу. Кроме того, каждой вершине, каждому ребру и каждой грани многогранника {p, q} соответствует единственная грань, единственное ребро и единственная вершина двойственного многогранника {q, p}. Следовательно, если {p, q} имеет N0вершин, N1 ребер и N2 граней, то {q, p} имеет N2 вершин, N1 ребер и N0 граней.



Рис. 3. ДВОЙСТВЕННЫЕ МНОГОГРАННИКИ. Куб и октаэдр находятся в положении двойственности друг другу, грани являются q-угольниками, р из которых примыкают к каждой вершине.

Так как каждая из N2 граней правильного многогранника {p, q} ограничена р ребрами и каждое ребро является общим ровно для двух граней, то всего имеется pN2/2 ребер, поэтому N1 = pN2/2. У двойственного многогранника {q, p} ребер также N1 и N0 граней, поэтому N1 = qN0/2. Таким образом, числаN0, N1 и N2 для любого правильного многогранника {p, q} связаны соотношением


Симметрия. Основной интерес к правильным многогранникам вызывает большое число симметрий, которыми они обладают. Под симметрией (или преобразованием симметрии) многогранника мы понимаем такое его движение как твердого тела в пространстве (например, поворот вокруг некоторой прямой, отражение относительно некоторой плоскости и т.д.), которое оставляет неизменными множества вершин, ребер и граней многогранника. Иначе говоря, под действием преобразования симметрии вершина, ребро или грань либо сохраняет свое исходное положение, либо переводится в исходное положение другой вершины, другого ребра или другой грани.

Существует одна симметрия, которая свойственна всем многогранникам. Речь идет о тождественном преобразовании, оставляющем любую точку в исходном положении. С менее тривиальным примером симметрии мы встречаемся в случае прямой правильной р-угольной призмы. Пусть l – прямая, соединяющая центры оснований. Поворот вокруг l на любое целое кратное угла 360/р градусов является симметрией. Пусть, далее, p – плоскость, проходящая посредине между основаниями параллельно им. Отражение относительно плоскости p (движение, переводящее любую точку P в точку Pў, такую, что p пересекает отрезок PPўпод прямым углом и делит его пополам) – еще одна симметрия. Комбинируя отражение относительно плоскости p с поворотом вокруг прямой l, мы получим еще одну симметрию.

Любую симметрию многогранника можно представить в виде произведения отражений. Под произведением нескольких движений многогранника как твердого тела здесь понимается выполнение отдельных движений в определенном заранее установленном порядке. Например, упоминавшийся выше поворот на угол 360/р градусов вокруг прямой l есть произведение отражений относительно любых двух плоскостей, содержащих l и образующих относительно друг друга угол в 180/р градусов. Симметрия, являющаяся произведением четного числа отражений, называется прямой, в противном случае – обратной. Таким образом, любой поворот вокруг прямой – прямая симметрия. Любое отражение есть обратная симметрия.

Рассмотрим подробнее симметрии тетраэдра, т.е. правильного многогранника {3, 3}. Любая прямая, проходящая через любую вершину и центр тетраэдра, проходит через центр противоположной грани. Поворот на 120 или 240 градусов вокруг этой прямой принадлежит к числу симметрий тетраэдра. Так как у тетраэдра 4 вершины (и 4 грани), то мы получим всего 8 прямых симметрий. Любая прямая, проходящая через центр и середину ребра тетраэдра проходит через середину противоположного ребра. Поворот на 180 градусов (полуоборот) вокруг такой прямой также является симметрией. Так как у тетраэдра 3 пары ребер, мы получаем еще 3 прямые симметрии. Следовательно, общее число прямых симметрий, включая тождественное преобразование, доходит до 12. Можно показать, что других прямых симметрий не существует и что имеется 12 обратных симметрий. Таким образом, тетраэдр допускает всего 24 симметрии. Для наглядности полезно построить картонную модель правильного тетраэдра и убедиться, что тетраэдр действительно обладает 24 симметриями. Развертки, которые можно вырезать из тонкого картона и, сложив, склеить из них пять правильных многогранников, приведены на рис. 4.



Рис. 4. РАЗВЕРТКИ пяти правильных многогранников.

Прямые симметрии остальных правильных многогранников можно описать не по отдельности, а все вместе. Условимся понимать под {p, q} любой правильный многогранник, кроме {3, 3}. Прямая, проходящая через центр {p, q} и любую вершину, проходит через противоположную вершину, и любой поворот на целое кратное 360/q градусов вокруг этой прямой является симметрией. Следовательно, для каждой такой прямой существуют, включая тождественное преобразование, (q – 1) различных симметрий. Каждая такая прямая соединяет две из N0 вершин; следовательно, всего таких прямых – N0/2, что дает (q – 1) >N0/2 симметрий. Кроме того, прямая, проходящая через центр многогранника {p, q} и центр любой грани, проходит через центр противоположной грани, и любой поворот вокруг такой прямой на целое кратное 360/р градусов является симметрией. Так как общее число таких линий равно N2/2, где N2 – число граней многогранника {p, q}, мы получаем (p – 1)N2/2 различных симметрий, включая тождественное преобразование. Наконец, прямая, проходящая через центр и середину любого ребра многогранника {p, q}, проходит через середину противоположного ребра, и симметрией является полуоборот вокруг этой прямой. Поскольку имеется N1/2 таких прямых, где N1 – число ребер многогранника {p, q}, мы получаем еще N1/2 симметрий. С учетом тождественного преобразования получаем

прямых симметрий. Других прямых симметрий нет, и имеется столько же обратных симметрий.

Хотя формула (3) была получена не для многогранника {3, 3}, нетрудно проверить, что она верна и для него. Таким образом, многогранник {3, 3} обладает 12 прямыми симметриями, многогранники {4, 3} и {3, 4} имеют по 24 симметрии, а многогранники {5, 3} и {3, 5} – по 60 симметрий.

Читатели, знакомые с абстрактной алгеброй, поймут, что симметрии многогранника {p, q} образуют группу относительно определенного выше «умножения». В этой группе прямые симметрии образуют подгруппу индекса 2, а обратные симметрии группу не образуют, так как нарушают свойство замкнутости и не содержат тождественного преобразования (единичного элемента группы). Обычно о группе прямых симметрий говорят как о группе многогранника, а полную группу симметрий называют его расширенной группой. Из рассмотренных выше свойств двойственных многогранников ясно, что любой правильный многогранник и двойственный ему многогранник имеют одну и ту же группу. Группа тетраэдра называется тетраэдрической группой, группа куба и октаэдра называется октаэдрической группой, а группа додекаэдра и икосаэдра – икосаэдрической группой. Они изоморфны знакопеременной группе А4 из четырех символов, симметрической группе S4 из четырех символов и знакопеременной группе А5 из пяти символов соответственно

(см. также АЛГЕБРА АБСТРАКТНАЯ).

ФОРМУЛА ЭЙЛЕРА

Рассматривая таблицу, можно заметить интересное соотношение между числом вершин N0, числом ребер N1 и числом граней N2любого выпуклого правильного многогранника {p, q}. Речь идет о соотношении

которое называется формулой Эйлера в честь открывшего ее Л.Эйлера (1707–1783). Левая часть формулы (4) называется «эйлеровой характеристикой».

Формула Эйлера используется в сочетании с формулами (2) и (3). Из (4) и (2) получаем:

Отсюда следует выражение для N1 через pи q:

где

Воспользовавшись еще раз формулой (2), находим аналогичные выражения для N0 иN2:

Подставляя полученные выражения в формулы (3) и (4), получаем, что число прямых симметрий многогранника {p, q} равно

Это число можно записать также в одной из эквивалентных форм: qN0, 2N1илиpN2.

Область применения формулы Эйлера. Значимость формулы Эйлера усиливается тем, что она применима не только к платоновым телам, но и к любому многограннику, гомеоморфному сфере

(см. ТОПОЛОГИЯ). Это утверждение доказывается следующим образом.

Пусть P – любой многогранник, гомеоморфный сфере, с N0 вершинами, N1 ребрами и N2 гранями; пусть c = N0N1 + N2 – эйлерова характеристика многогранника P. Требуется доказать, чтоc = 2. Так как Р гомеоморфен сфере, мы можем удалить одну грань и превратить остальные в некоторую конфигурацию на плоскости (например, на рис. 5,а и 5,б вы видите призму, у которой удалена передняя плоскость). «Плоскостная конфигурация» представляет собой сеть точек и прямолинейных отрезков, называемых соответственно «вершинами» и «ребрами», при этом вершины служат концами ребер. Вершины и ребра рассматриваемой нами конфигурации мы считаем смещенными и деформированными вершинами и ребрами многогранника. Таким образом, эта конфигурация имеет N0 вершин и N1 ребер. Остальные N2 – 1 граней многогранника деформируются в N2 – 1 непересекающихся областей на плоскости, определяемой конфигурацией. Назовем эти области «гранями» конфигурации. Вершины, ребра и грани конфигурации и определяют эйлерову характеристику, которая в данном случае равна c – 1.



Рис. 5. ФОРМУЛА ЭЙЛЕРА позволяет решить, какие многогранники могут быть сведены к плоским фигурам последовательным удалением одной грани за другой. На рисунке показано превращение треугольной призмы в квадрат.

Теперь мы проведем сплющивание так, что если удаленная грань была р-угольником, то все N2 – 1 граней конфигурации заполнят внутренность р-угольника. Пусть А – некоторая вершина внутри р-угольника. Предположим, что в А сходятся r ребер. Если удалить А и все r сходящихся в ней ребер, то число вершин уменьшится на 1, ребер – на r, граней – на r – 1 (см. рис. 5,б и 5,в). У новой конфигурации Nў0 = N0 – 1 вершин, Nў1 = N1r ребер и Nў2 = N2 – 1 – (r – 1) граней; следовательно,

Таким образом, удаление одной внутренней вершины и сходящихся в ней ребер не меняет эйлеровой характеристики конфигурации. Поэтому, удалив все внутренние вершины и сходящиеся в них ребра, мы тем самым сведем конфигурацию к р-угольнику и его внутренности (рис. 5,г). Но эйлерова характеристика останется по-прежнему равной c – 1, а так как конфигурация имеет р вершин, р ребер и 1 грань, мы получаем

Таким образом, c = 2, что и требовалось доказать.

Далее можно доказать, что если эйлерова характеристика многогранника равна 2, то многогранник гомеоморфен сфере. Иначе говоря, мы можем обобщить полученный выше результат, показав, что многогранник гомеоморфен сфере в том и только втом случае, если его эйлерова характеристика равна 2.

Обобщенная формула Эйлера. Для классификации других многогранников используется обобщенная формула Эйлера. Если у некоторого многогранника 16 вершин, 32 ребра и 16 граней, то его эйлерова характеристика равна 16 – 32 + 16 = 0. Это позволяет утверждать, что данный многогранник принадлежит классу многогранников, гомеоморфных тору. Отличительной особенностью этого класса является эйлерова характеристика, равная нулю. Более общо, пусть Р – многогранник с N0 вершинами, N1 ребрами и N2 гранями. Говорят, что данный многогранник гомеоморфен поверхности рода n в том и только втом случае, если

Наконец, следует заметить, что ситуация существенно усложняется, если смягчить прежнее ограничение, согласно которому никакие две грани многогранника не должны пересекаться. Например, появляется возможность существования двух негомеоморфных многогранников с одной и той же эйлеровой характеристикой. Их следует различать по другим топологическим свойствам.

Искать информацию по запросу: МНОГОГРАННИК на eBay аукцион * на аукционе EnterCenter * в магазине Озоне
Search All Ebay* AU* AT* BE* CA* FR* DE* IN* IE* IT* MY* NL* PL* SG* ES* CH* UK*
Rare Book: My Water Cure Sebastian Kneipp The Original Edition 1897

$20.00
End Date: Tuesday Feb-12-2019 14:21:58 PST
Buy It Now for only: $20.00
|
Easton Press Library of American History

$24.40
End Date: Tuesday Feb-19-2019 12:00:43 PST
Buy It Now for only: $24.40
|
Lot of 10 ANTIQUE VINTAGE Hardcover OLD BOOKS 1880s - 1960 FINE

$49.95
End Date: Tuesday Feb-19-2019 7:56:15 PST
Buy It Now for only: $49.95
|
Summer Savory New York Adirondacks 1st Edit

$29.89
End Date: Monday Feb-11-2019 9:36:25 PST
Buy It Now for only: $29.89
|
Search All Amazon* UK* DE* FR* JP* CA* CN* IT* ES* IN* BR* MX
 
Бернард Вербер Энциклопедия относительного и абсолютного знания L'encyclopedie du savoir relatif et absolu
Энциклопедия относительного и абсолютного знания
Энциклопедия относительного и абсолютного знания - книга-легенда!
C нее началось восхождение Вербера к вершинам мировой славы!
Ее прочитал каждый второй француз!
Теперь и на русском языке!...

Цена:
335 руб

Лермонтовская энциклопедия
Лермонтовская энциклопедия
Издание 1981 года. Сохранность хорошая.
"Лермонтовская энциклопедия" знакомит читателя со всеми сторонами творческого наследия Лермонтова и его биографии; он найдет в ней статьи, посвященные каждому произведению поэта, вопросам поэтики, лермонтовскому окружению, памятным местам. Книга отражает также связи Лермонтова с русской и мировой литературой, рассказывает о преломлении лермонтовских тем и образов в живописи и музыке, театре, кино. Издание иллюстрируется рисунками самого поэта и русских художников на лермонтовские сюжеты....

Цена:
2759 руб

 Россия: Уникальная иллюстрированная энциклопедия
Россия: Уникальная иллюстрированная энциклопедия
Энциклопедия включает статьи по различным областям знаний - по истории, географии, науке, культуре и многому другому. Книга прекрасно иллюстрирована.

Предназначена для широкого круга читателей....

Цена:
1277 руб

Энциклопедический словарь. Современная версия
Энциклопедический словарь. Современная версия
Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона - одна из крупнейших российских энциклопедий, стоящая в одном ряду с такими монументальными изданиями, как французский "Ларусс", немецкий "Брокгауз" и английская "Британника". Это национальное сокровище сейчас, к сожалению, доступно только узким специалистам, хотя его название знакомо любому человеку.
Предлагаем Вашему вниманию современную версию знаменитой энциклопедии, которая содержит универсальные сведения в самых различных областях жизни общества, таких, как история, философия, юриспруденция, экономика, география, история искусства и литературы, этнография, зоология, геология, физика, химия, ботаника, анатомия, архитектура, военное и морское дело. Давая реальную возможность заглянуть в прошедшие эпохи, воспроизвести картину мира прошлого и настоящего, провести интереснейшие сопоставления, книга будет интересна как специалистам - историкам, писателям, лингвистам, литературоведам, - так и самому широкому кругу читателей....

Цена:
239 руб

Африка. Энциклопедический справочник (комплект из 2 книг)
Африка. Энциклопедический справочник (комплект из 2 книг)
Энциклопедический справочник "Африка", выпускаемый издательством в 2-х томах, отражает важные социально-экономические и политические перемены, происходящие на Африканском континенте. В справочнике освещаются самые различные стороны экономического развития, географии, истории, идеологии и культуры африканских стран и народов. Справочник состоит из Общего обзора, алфавитной словарной части, приложений и указателей. В 2-х томах помещено около 2000 иллюстраций, по большей части цветных, свыше 200 цветных и черно-белых карт и схем, цветные изображения гербов и флагов.

Справочник представляет интерес для широких кругов читателей - специалистов, преподавателей, студентов и др....

Цена:
919 руб

Ежегодник Большой Советской Энциклопедии. Выпуск 23
Ежегодник Большой Советской Энциклопедии. Выпуск 23
Ежегодник 1979 года -двадцать третий выпуск в серии Ежегодников Большой Советской Энциклопедии. Как и предшествующие ему выпуски, он посвящен событиям истекшего года: изменениям в политике и экономике всех стран мира, культурной жизни, последним достижениям науки и техники и т. д. Будучи, таким образом, летописью года, Ежегодник может служить своеобразным путеводителем в быстро меняющемся современном мире.

В Ежегоднике 1979 года сохранены все разделы, ставшие постоянными в этой книге: о Советском Союзе, союзных и автономных советских республиках; о зарубежных странах; о международных организациях; обзоры экономики социалистических стран и стран капиталистического мира; обзор массового движения трудящихся капиталистических стран; раздел о развитии связей между коммунистическими и рабочими партиями; разделы о науке и технике; информация о международной культурной и спортивной жизни; биографические справки и др.

Сообщаемые в Ежегоднике 1979 года сведения ограничены, как правило, хронологическими рамками 1978 года. Некоторые цифры, опубликованные в предыдущих выпусках, изменены, так как они уточнялись. Данные за 1978 год в ряде случаев предварительные. В основу экономических показателей для СССР и союзных республик положены мате])иа-лы Центральных статистических управлений СССР и союзных республик, для зарубежных стран - официальные национальные статистические и другие справочные издания, а также публикации ООН. Сведения о здравоохранении, народном образовании, печати и транспорте в союзных советских республиках помещены в соответствующих разделах статьи "СССР".

Как и ранее, благодаря содействию организаций ряда социалистических стран, обществ "Австрия - СССР", "Бельгия - СССР", "Италия - СССР", "Нидерланды - СССР", "Финляндия - СССР", "Швейцария - СССР", а также отдельных организаций и лиц из зарубежных стран в Ежегоднике помещены статьи, знакомящие с культурной жизнью соответствующих стран....

Цена:
172 руб

Ежегодник Большой Советской Энциклопедии. Выпуск 30
Ежегодник Большой Советской Энциклопедии. Выпуск 30
Ежегодник Большой Советской Энциклопедии (БСЭ), выходящий с 1957 года, является самостоятельным справочным энциклопедическим изданием и одновременно служит но-стоянным дополнением к ранее вышедшим томам БСЭ.

Ежегодник 1986 года (тридцатый выпуск), как и предшествующие ему выпуски, посвящен событиям истекшего (1985) года: изменениям в политике и экономике всех стран мира, культурной жизни, последним достижениям науки и техники и т. д. Ежегодник, таким образом, является своеобразной летописью года.

Ежегодник 1986 года состоит из разделов, ставших постоянными в этой книге: о Советском Союзе, союзных и автономных советских республиках; о зарубежных странах; о международных организациях; обзоры экономики социалистических стран, развитых капиталистических и развивающихся стран; обзор массового движения трудящихся капиталистических государств; раздел о развитии связей между коммунистическими и рабочими партиями; разделы о науке и технике; о международной спортивной жизни; биографические справки и др.

Сообщаемые в Ежегоднике 1986 года сведения ограничены, как правило, хронологическими рамками 1985 года. Некоторые цифры, опубликованные в предыдущих выпусках, изменены, так как они уточнялись. Данные за 1985 год в ряде случаев предварительные. В основу экономических показателей для СССР и союзных республик положены материалы Центральных статистических управлений СССР и союзных республик, для зарубежных стран - официальные национальные статистические и другие справочные издания, а также публикации ООН. Сведения о здравоохранении, народном образовании, печати и транспорте в союзных советских республиках помещены в соответствующих разделах статьи "СССР".

Как и ранее, благодаря содействию организаций ряда социалистических стран, обществ "Бельгия-СССР", "Италия-СССР", "Франция-СССР", Института культурных связей "Бразилия-СССР", а также отдельных организаций и лиц из зарубежных стран в Ежегоднике помещены статьи, знакомящие с культурной жизнью соответствующих стран....

Цена:
429 руб

Иллюстрированный энциклопедический словарь
Иллюстрированный энциклопедический словарь
Настоящий иллюстрированный энциклопедический словарь охватывает все основные отрасли знания и сферы жизни общества: история; география; религия; искусство; литература; наука и техника и др.
Обширные сведения по истории цивилизации и культуры, уникальные факты и статистические данные, многочисленные биографические подробности делают это издание незаменимым для каждого образованного человека.
Удобное разделение по тематикам позволяет найти нужную информацию максимально быстро, а богатый иллюстративный материал не только служит превосходным украшением этого блестящего энциклопедического справочника, но и самым достоверным образом воспроизводит описываемые в нем реалии.
Предназначен для самого широкого круга читателей....

Цена:
223 руб

 Новая Российская энциклопедия. В 12 томах. Том 5(1). Головин-Даргомыжский
Новая Российская энциклопедия. В 12 томах. Том 5(1). Головин-Даргомыжский
Новая Российская энциклопедия (НРЭ) - фундаментальное универсальное справочно-информационное издание, представляющее читателям картину мира, отражающую современное состояние научного знания.
Алфавитную часть энциклопедии открывает второй том. Всего в энциклопедии будет опубликовано св. 60 тыс. статей, в т.ч. ок. 30 тыс. биографий, более 10 тыс. иллюстраций, карт, диаграмм, схем и таблиц.

Новая Российская энциклопедия ориентирована на широкие круги читателей: от школьников и студентов до специалистов по различным отраслям знаний, деятелей культуры, политиков, предпринимателей....

Цена:
3128 руб

Здоровье женщины. Полная энциклопедия Выгодная цена!
Здоровье женщины. Полная энциклопедия
В этой книге затронуты самые разные проблемы, так или иначе касающиеся женского здоровья. Это особенности развития и возрастные критические состояния, физиология и психология половой жизни, подготовка к материнству и борьба с бесплодием. Отдельно затронуты психологические аспекты жизни женщины в современном мире.
Большое внимание уделено заболеваниям, которым подвержен женский организм, а также инфекционным болезням, передающимся половым путем....

Цена:
176 руб

2007 Copyright © EduSPB.ru Мобильная Версия v.2015 | PeterLife и компания
Пользовательское соглашение использование материалов сайта разрешено с активной ссылкой на сайт
Угостить администратора сайта, чашечкой кофе *https://paypal.me/peterlife
Rambler's Top100 Яндекс цитирования Яндекс.Метрика