Большая энциклопедия онлайн
ГЕОМЕТРИЯ
ГЕОМЕТРИЯ, раздел математики, занимающийся изучением свойств различных фигур (точек, линий, углов, двумерных и трехмерных объектов), их размеров и взаимного расположения. Для удобства преподавания геометрию подразделяют на планиметрию и стереометрию. В планиметрии рассматриваются фигуры на плоскости; в стереометрии изучаются пространственные фигуры.

ИСТОРИЯ


Египет. Если не учитывать весьма скромный вклад древних обитателей долины между Тигром и Евфратом и Малой Азии, то геометрия зародилась в Древнем Египте до 1700 до н.э. Во время сезона тропических дождей Нил пополнял свои запасы воды и разливался. Вода покрывала участки обработанной земли, и в целях налогообложения нужно было установить, сколько земли потеряно. Землемеры использовали в качестве измерительного инструмента туго натянутую веревку. Еще одним стимулом накопления геометрических знаний египтянами стали такие виды их деятельности, как возведение пирамид и изобразительное искусство.

Основным источником наших знаний о древнеегипетской геометрии является относящийся примерно к 1700 до н.э. папирус Ринда, названный по имени владельца, египтолога Ринда (этот папирус также называется папирусом Ахмеса) и хранящийся ныне в Лондоне в Британском музее. Папирус Ринда свидетельствует о том, что древних египтян интересовали главным образом практические аспекты геометрии и что при накоплении геометрических фактов египтяне почти всецело руководствовались интуицией, экспериментом и приближенными представлениями.

Греция. Около 600 до н.э. ионийские греки, совершившие путешествие в Египет, привезли на родину первые сведения о геометрии. Самым известным путешественником в Египет был Фалес (ок. 640 – ок. 546 до н.э.). Он был преуспевающим купцом, посвятившим последние годы жизни науке и политике. Фалес первым начал доказывать истинность геометрических соотношений, последовательно выводя их логически из некоторого набора общепринятых утверждений, называемых аксиомами или постулатами. Этот метод дедуктивного рассуждения, которому предстояло стать доминирующим в геометрии и фактически – во всей математике, сохраняет свое фундаментальное значение и в наши дни.

Одним из наиболее знаменитых учеников Фалеса был Пифагор (ок. 570 – ок. 500 до н.э.). Он много путешествовал, а потом поселился в Кротоне, в Италии, где основал общество, занимавшееся изучением арифметики, музыки, геометрии и астрономии. Пифагор и его последователи доказали много новых теорем о треугольниках, окружностях, пропорциях и некоторых трехмерных телах. Пифагор доказал также знаменитую теорему, носящую ныне его имя, согласно которой площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

Пифагор умер в изгнании, но его влияние на греческих математиков ощущалось на протяжении многих веков. После его кончины в Элее (город в Италии) новыми центрами развивающейся геометрии становились по очереди Афины и Александрия. Архит Тарентский (ок. 428 – ок. 365 до н.э.) и Гиппий Элидский (р. ок. 425 до н.э.) затратили много усилий на решение трех задач, игравших важную роль в древнегреческой математике: это задачи о трисекции угла, о построении квадрата, площадь которого равна площади данного круга (задача о квадратуре круга), и о построении куба, имеющего вдвое больший объем, чем данный куб (задача об удвоении куба). Хотя ныне известно, что с помощью циркуля и линейки (единственных орудий геометрических построений, известных древнегреческим математикам) эти задачи решить нельзя, тем не менее попытки это сделать не были напрасны. Они стимулировали изучение конических сечений и способствовали совершенствованию математических методов.

Александрия. Афинская школа числила в своих рядах таких великих людей, как Платон и Аристотель. После смерти Аристотеля центр научной мысли переместился в Александрию (Египет), где в начале 3 в. до н.э. был основан знаменитый Александрийский Мусейон – один из главных научных центров античного мира. Живший в Александрии математик Евклид (3 в. до н.э.), биографические сведения о котором крайне скудны, собрал в 13 книгах своего сочинения значительную часть математических знаний того времени. Семь книг из 13 были посвящены геометрии, предмет которой был им тщательно и систематически изложен, различные утверждения и теоремы расположены в определенном порядке и перенумерованы. Была включена также теория пространственных тел, ограниченных плоскими поверхностями. Называлось это великое сочинение Начала, и последующие издания, точно придерживающиеся оригинала, стали основой обучения геометрии вплоть до нашего времени. Величайшим математиком античности был грек Архимед (ок. 287–212 до н.э.). Кроме множества других полученных им научных результатов и открытий, Архимед расширил ту часть Начал Евклида, в которой рассматривались пространственные тела, включив в их число сферу, цилиндр и конус. Другими великими александрийскими геометрами были Аполлоний Пергский (3 в. до н.э.; конические сечения), Птолемей (2 в. н.э.; астрономия) и Папп (3 в. н.э.; плоские кривые высших порядков). В 641 н.э. арабы разграбили Александрию и разрушили Мусейон и его библиотеку. Впрочем, греческая математика вступила в период застоя еще в начале 4 в. н.э, после кончины Паппа.

Средневековье. После падения Александрии большинство работ древнегреческих математиков были рассеяны или утрачены. Некоторые из них, в том числе Начала Евклида, были переведены и изучались арабами и индийцами. И хотя эти народы породили нескольких великих математиков, среди которых наиболее известны индийские математики Ариабхата (ок. 476 – ок. 550) и Бхаскара II (ок. 1114–1185), все же их самой большой заслугой следует считать сохранение геометрии в период Средневековья.

После падения Римской империи в 5 в. наука в Европе долгое время находилась почти в полном забвении. В 12 и 13 вв. Начала были переведены с греческого и арабского на латынь и современные европейские языки, а геометрия вошла в программу монастырских школ. Первый из этих переводов был выполнен Аделардом Батским в 1120.

Новое время. За последние 300 лет доказательная геометрия была существенно расширена, а по своим методам и степени общности результатов она стала заметно отличаться от элементарной геометрии (т.е. геометрии, изложенной в Началах). Французский математик Ж.Дезарг (1593–1662) в связи с развитием учения о перспективе занялся исследованием свойств геометрических фигур в зависимости от их проекций. Тем самым он заложил основу проективной геометрии, которая изучает те свойства фигур, которые остаются неизменными при различных проекциях. В 19 в. это направление получило существенное развитие. Проективная геометрия, конические сечения и новая геометрия треугольников и окружностей составили содержание современной т.н. чистой геометрии.

Тесно связанная с проективной, начертательная геометрия была введена французским математиком Г.Монжем (1746–1818). Эта новая область геометрии была связана с представлением изображений геометрических фигур на плоскости и определением геометрическими средствами расстояний, углов и линий пересечения. Начертательная геометрия представляет собой основу технического черчения.

В 1637 Р.Декарт (1596–1650), французский философ и математик, опубликовал свою Геометрию – первый труд по аналитической геометрии, позволивший применить в геометрии мощные алгебраические методы. Геометрические задачи всех видов теперь могли решаться в рамках единого подхода; кроме того, благодаря новым методам стала возможной постановка и решение новых задач, о которых древние не могли даже помыслить, но которые ныне находятся в самом центре математики и математической физики.

Со времен первого появления Начал математики тщетно пытались доказать пятый постулат Евклида: через точку, не лежащую на прямой, можно провести только одну прямую, ей параллельную. В 19 в. было доказано, что можно построить непротиворечивую геометрию, используя все аксиомы и постулаты Евклида и отрицание постулата о параллельных, а это означало, что искомого доказательства пятого постулата не существует. Любая такая непротиворечивая геометрия получила название неевклидовой геометрии. Около 1830 Я.Бойяи (1802–1860) и Н.И.Лобачевский (1792–1856) независимо друг от друга построили геометрию, использовавшую постулат, согласно которому через точку, лежащую вне прямой, можно провести много прямых, ей параллельных. В 1854 Б.Риман (1826–1866) сформулировал постулат, согласно которому через точку вне прямой невозможно провести ни одной параллельной, что дало начало т.н. римановой геометрии. Неевклидова математика расширилась и стала включать в себя тригонометрию, аналитическую и дифференциальную геометрии, охватив не только планиметрию, но и стереометрию, а также геометрию пространств размерности больше трех (геометрию гиперпространств). Евклидова и обе неевклидовы геометрии одинаково хорошо служат для описания той ограниченной области пространства, в которой мы живем, хотя геометрия Евклида проще по форме. В то же время при переходе к римановой геометрии некоторые современные физические теории существенно упрощаются.

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ПЛАНИМЕТРИЯ


Аксиомы и постулаты. Существует набор исходных посылок, называемых аксиомами и постулатами, на которых базируется вся структура геометрии.

Аксиомы. Аксиомы – это утверждения, принимаемые за истинные без доказательств. Аксиомы обычно подразделяются на две группы: общие, относящиеся ко всей математике, и геометрические.

К числу общих аксиом относятся следующие.

1. Равные одному и тому же равны между собой.

2. Если к равным прибавляются равные, то суммы будут равны.

3. Если от равных отнимаются равные, то остатки будут равны.

4. Если равные умножить на равные, то произведения будут равны.

5. Если равные разделить на равные, то частные будут равны. Деление на нуль запрещается.

6. Одинаковые степени равных, а также корни одинаковой степени из равных равны.

7. Целое больше любой своей части.

8. Целое равно сумме своих частей.

К числу геометрических аксиом относятся следующие.

1. Через любые две данные точки можно провести только одну прямую.

2. Геометрическую фигуру можно перемещать в пространстве, не изменяя ни ее размеров, ни ее формы.

3. Геометрические фигуры, которые совпадают после наложения, конгруэнтны (т.е. равны).

4. Прямая есть кратчайшее расстояние между двумя точками.

Постулаты. Следующие постулаты касаются построений и принимаются за истинные без доказательств.

1. Через любые две данные точки можно провести прямую.

2. Прямая может быть продолжена бесконечно или же ограничена в любой своей точке.

3. Окружность может быть описана вокруг любой данной точки как центра и с любым радиусом.

4. Все прямые углы равны.

5. Через точку, не лежащую на прямой, можно провести одну и только одну прямую, ей параллельную.

Некоторые геометрические фигуры, построения и заключения. Многие термины, используемые для описания фигур в геометрии, настолько фундаментальны, что определить их не представляется возможным. Все попытки сделать это приводили лишь к замене одних терминов другими, столь же неопределимыми, или к простому описанию некоторых свойств фигур. Например, термин «точка» не поддается определению.

Линии. Термин «линия» (или «кривая» в широком смысле слова) не имеет определения, хотя мысленно линию можно представить как след движущейся точки. Бесчисленные попытки определить прямую линию (рис. 1,а) не имели успеха. Многие из этих попыток апеллировали к физическому эксперименту, например, «прямая – это туго натянутая линия». Чаще других приводится описание прямой, предложенное Архимедом: «Прямая – это кратчайшее расстояние между двумя точками». Это «определение», однако, лишь заменяет неопределяемое понятие прямизны столь же неопределяемым понятием расстояния. Предполагается, что прямая бесконечна, т.е. ее можно неограниченно продолжить в обе стороны. Часть прямой называется отрезком. Ломаная (рис. 1,б) состоит из прямолинейных отрезков. Кривой (рис. 1,в) называется линия, никакая часть которой не является прямой.



Рис. 1. ЛИНИИ. а – прямая; б – ломаная; в – гладкая кривая; г – параллельные прямые; д – перпендикулярные прямые; е – наклонные прямые.

Как показано на рис. 1,г, 1,ди 1,е, прямые могут быть параллельными, перпендикулярными и наклонными. Параллельные прямые – это прямые, расстояние между которыми всюду одинаково. На рис. 1,г показано, как построить прямую, параллельную данной прямой L и отстоящую от нее на заданное расстояние. Берется окружность, радиус которой равен данному расстоянию. Проводятся две дуги с центрами в двух различных точках прямой L. Прямая, касательная к обеим дугам, и есть та прямая, которую требовалось построить.

На рис. 1,д показано, как построить прямую, проходящую через точку Р и перпендикулярную прямой L. Порядок, в котором делаются засечки дугами, указаны номерами [первыми следует провести (в любой последовательности) либо дугу 1, либо дугу 1ў]. Для проведения дуг 2 и 2ў циркуль устанавливается в точки пересечения прямой L дугами 1 и 1ў соответственно, радиусы остаются те же самые. Прямая, проходящая через точку Р и точку пересечения дуг 2 и 2ў, есть искомый перпендикуляр. Перпендикуляр – это кратчайшая линия, которую можно провести от точки до прямой, на которую он опущен, и расстояние от точки до прямой по определению равно длине перпендикуляра, опущенного из нее на прямую.

Углы. Углом называется фигура, образованная двумя полупрямыми, исходящими из одной точки. Эта точка называется вершиной угла, а полупрямые – сторонами угла. Если стороны угла перпендикулярны друг другу, то образуемый ими угол называется прямым (рис. 2,а). Углы меньше прямого называются острыми (рис. 2,б), а углы больше прямого – тупыми (рис. 2,в). Развернутым называется угол, обе стороны которого лежат на одной прямой (рис. 2,г); такой угол равен двум прямым углам. Биссектрисой угла называется прямая, проходящая через его вершину и делящая угол пополам. Углы можно измерять количественно, если определить единицу измерения угла (угол в один градус) как 1/180 развернутого угла. Таким образом, прямой угол содержит 90°, а угол на рис. 2,д содержит больше 180°, но меньше 360°.



Рис. 2. УГЛЫ. а – прямой угол; б – острый угол; в – тупой угол; г – развернутый угол; д – угол, больший 180° и меньший 360°; е – вертикальные углы; ж – дополнительные углы (до 90°); з – смежные углы (до 180°); и – углы, образованные при пересечении параллельных прямой; к – деление угла пополам; л – удвоение угла; м – вычерчивание параллельных с помощью треугольника и рейсшины; н – трисекция угла по Архимеду.

На рис. 2,е, 2,ж, 2,з и 2,и показано, как соотносятся между собой углы некоторых фигур. Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными полупрямыми сторон другого (рис. 2,е). Вертикальные углы равны. Дополнительные углы в сумме составляют 90° (рис. 2,ж), а смежные углы в сумме дают 180° (рис. 2,з). Если прямая пересекает две параллельные прямые, как на рис. 2,и, то углы E, B, Cи H равны, и углы F, A, Dи G также равны между собой. Углы между параллельными (углы А, В, С, D на рисунке) называются внутренними, а углы, лежащие вне параллельных – внешними. Тот факт, что параллельные образуют с пересекающей их прямой равные углы, используется при вычерчивании параллельных прямых (рис. 2,м).

На рис. 2,к показано, как с помощью циркуля и линейки разделить пополам данный угол: прямая VA – биссектриса угла. На рис. 2,л показано, как удвоить данный угол.

Традиционно в элементарной геометрии выполнялись лишь геометрические построения, которые можно осуществить, используя только циркуль и линейку без делений. Общего подхода к таким построениям не существует, и успех почти целиком зависит от настойчивости и изобретательности. Так, например, может показаться, что задача о разделении угла на три равные части, т.н. трисекция угла, достаточно легка, поскольку сходная с ней задача деления угла пополам решается довольно просто. Однако на протяжении веков все усилия как любителей, так и профессионалов осуществить трисекцию угла неизменно оканчивались неудачей. Правда, эту задачу удалось решить, используя некоторые плоские кривые высших порядков, например, конхоиду и квадратриссу, а Архимед показал, как можно было бы решить задачу о трисекции угла с помощью линейки с двумя отметинами (рис. 2,н). В предложенном им решении задачи на ребре линейки откладывается расстояние МР, равное радиусу ON. Линейка кладется так, чтобы ее край проходил через точку N, тогда точка М попадает на продолжение прямой OL, а точка P – на окружность. Задача о трисекции угла эквивалентна поиску геометрического построения, позволяющего находить корни уравнения x3 – 2 = 0. В 1837 вопрос о трисекции был окончательно решен французским математиком П.Ванцелем, давшим строгое доказательство невозможности точной трисекции угла в общем случае с помощью циркуля и линейки.

Треугольники. Треугольником называется плоская фигура, ограниченная тремя прямыми. У треугольника могут быть три неравные стороны (разносторонний треугольник), две равные стороны (равнобедренный треугольник) или три равные стороны (равносторонний треугольник) (рис. 3,а, 3,б, 3,в). В равнобедренном треугольнике углы, лежащие против равных сторон (углыa и b на рис. 3,б), равны; в равностороннем треугольнике все углы равны.



Рис. 3. ТРЕУГОЛЬНИКИ. а – разносторонний; б – равнобедренный; в – равносторонний; г – прямоугольный; д – длины сторон и отрезков в прямоугольном треугольнике; е – углы треугольника; ж – медианы; з – высоты; и – биссектрисы углов; к – треугольник, рассеченный прямой, параллельной одной из сторон; л – треугольник, рассеченный биссектрисой одного из углов; м – подобные треугольники; н – пропорциональный делитель.

Прямоугольным называется треугольник (рис. 3,г), у которого один из углов прямой. Сторона, лежащая против прямого угла, называется гипотенузой; две стороны, образующие прямой угол, называются катетами. Некоторые соотношения между длинами сторон прямоугольного треугольника мы приведем в обозначениях, указанных на рис. 3,д. Знаменитая теорема Пифагора гласит; квадрат длины гипотенузы в прямоугольном треугольнике равен сумме квадратов длин катетов, или c2 = a2 + b2.

Длина перпендикуляра h, опущенного из вершины прямого угла на гипотенузу, есть среднее пропорциональное длин отрезков, на которые основание перпендикуляра делит гипотенузу:

Углы внутри треугольника называются внутренними; углы, которые образуются, если стороны треугольника продлить за их вершины, называются внешними (рис. 3,е). Сумма внутренних углов треугольника равна развернутому углу. Любой внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не имеющих с ним общей вершины (РD = РA + РB).

Отрезок прямой, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны, называется медианой. Три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Например, на рис. 3,ж отрезок АО составляет 2/3 от длины отрезка АС. Точка пересечения медиан является также центром тяжести треугольника (треугольник, вырезанный из однородного по толщине и плотности материала и подвешенный в этой точке, будет находиться в равновесии). Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из одной из его вершин на противоположную сторону (или ее продолжение). Все три высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется ортоцентром (рис. 3,з); биссектрисы всех углов треугольника также пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной окружности (рис. 3,и) и равноудалена от всех сторон треугольника.

Прямая, пересекающая треугольник и параллельная одной из его сторон, делит две другие стороны на пропорциональные отрезки. На рис. 3,к a/b = e/c = f/d. Биссектриса любого угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные длинам сторон, образующих угол. На рис. 3,л, если РA = РB, тоc/a = d/b.

Два треугольника (любые фигуры) называются равными (или конгруэнтными), если они переводятся друг в друга преобразованиями движения. Преобразование одной фигуры в другую называется движением, если оно сохраняет расстояния между точками. Можно доказать три признака равенства треугольников: два треугольника равны, если 1) две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника; 2) сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ним углам другого треугольника; и 3) три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника. Если треугольники можно перевести друг в друга преобразованием движения, не выводящим их из плоскости, в которой оба они лежат, то они называются собственно конгруэнтными; если же один из треугольников необходимо перевернуть, то треугольники называются несобственно конгруэнтными.

Преобразование одной фигуры в другую называется преобразованием подобия, если при этом преобразовании расстояния между точками изменяются в одно и то же число раз. Две фигуры подобны, если они переводятся друг в друга преобразованием подобия.

Если два треугольника подобны (рис. 3,м), то их углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны. Пропорциональным делителем, изображенным на рис. 3,н, пользуются для того, чтобы увеличить или уменьшить чертеж в требуемое число раз.

Площадь любого треугольника равна половине произведения его стороны на проведенную в ней высоту:

Если треугольник равносторонний, то его площадь равна , где а – длина стороны. Если а, b, c – длины сторон треугольника, то его площадь определяется по формуле

вывод которой приписывают Герону (s – полупериметр).

Четырехугольники. Четырехугольником является всякая плоская фигура, ограниченная четырьмя прямыми (рис. 4). Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны имеют равную длину. Ромб (рис. 4,г) – это параллелограмм, все стороны которого равны, а прямоугольник (рис. 4,д) – это параллелограмм, у которого все углы прямые. Диагонали параллелограмма (рис. 4,ж) в точке пересечения делятся пополам; в прямоугольнике диагонали равны. Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие – непараллельны. Параллельные стороны называются основаниями. Площадь трапеции равна произведению высоты на полусумму ее оснований: A = h[(b + d)/2]. Площадь параллелограмма A = bh. Один из методов определения площади четырехугольника состоит в разбиении фигуры на два треугольника с помощью диагонали и в вычислении суммы площадей образовавшихся треугольников.



Рис. 4. ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ. а – четырехугольник, у которого никакие стороны не параллельны; б – трапеция; в – параллелограмм; г – ромб; д – прямоугольник; е – квадрат; ж – диагонали параллелограмма; з – пантограф.

Интересным приложением свойств параллелограмма служит шарнирный пантограф (рис. 4,з), используемый для перечерчивания чертежей и других графических изображений в большем или меньшем масштабе. Пантограф представляет собой шарнирный механизм, имеющий форму параллелограмма, закрепленный в вершине А, со звеном DC, продленным до точки Р. Прямая РА пересекает звено СВ в точке Рў. Звено СВ всегда параллельно звену DA, следовательно, треугольники PDA и PCPў подобны. Поэтому CPў = DAЧPC/PD, а эта величина постоянна, поэтому точка Рў звена СВ также лежит на прямой, соединяющей точки Р и А. Из двух рассмотренных выше подобных треугольников следует, что отношение РА/РўА также постоянно. Следовательно, в любом положении пантографа перемещение точки Рў пропорционально перемещению точки Р. Если точка Р движется по контуру какой-либо фигуры, то точка Рў, в которой находится острие карандаша, повторяет без искажений этот контур в уменьшенном масштабе. Отношение масштабов оригинала и копии равно РА/РўА = PD/CD.

Многоугольники. Многоугольником называется плоская фигура, ограниченная замкнутой ломаной линией, звенья которой называются сторонами. Многоугольник называется выпуклым, если он лежит в одной полуплоскости относительно любой прямой, содержащей его сторону. Выпуклый многоугольник называется правильным, если все стороны и углы его равны. Расстояние от центра правильного многоугольника до какой-либо его стороны равно радиусу вписанной в него окружности (обозначен на рис. 5,а буквой а). Площадь правильного многоугольника равна произведению половины радиуса на периметр:



Рис. 5. ОБРАЗЦЫ МНОГОУГОЛЬНИКОВ. а – правильный пятиугольник; б – правильный шестиугольник;в – неправильный семиугольник; г – вогнутый многоугольник.

В табл. 1 приведены названия и формулы для площадей некоторых правильных многоугольников (s означает длину стороны).

Таблица 1. НАЗВАНИЯ И ПЛОЩАДИ МНОГОУГОЛЬНИКОВ

Число сторон

Название многоугольника

Площадь правильного многоугольника

3

Треугольник
0,433s2

4

Четырехугольник
1,000s2

5

Пятиугольник
1,720s2

6

Шестиугольник
2,598s2

7

Семиугольник
3,634s2

8

Восьмиугольник
4,828s2

9

Девятиугольник
6,182s2

10

Десятиугольник
7,694s2

n

n-угольник
.......


Древние греки научились строить правильные многоугольники с 3, 4, 5, 6, 8, 10 и 15 сторонами. И сами греки, и многие после них безуспешно пытались разработать методы построения других многоугольников. В 1796 К.Гаусс, которому тогда было всего 19 лет, обнаружил, что правильный многоугольник можно построить с помощью циркуля и линейки только в том случае, если число сторон n равно простому числу вида или произведению простых чисел такого вида. В этой формуле t – любое целое число. Таким образом, построение с помощью циркуля и линейки правильных 7-, 9-, 11- и 13-угольников невозможно. Гаусс построил правильный 17-угольник, и из его работы следовало, что могут быть построены правильные 257-угольник и 65537-угольник.

Окружность. Окружностью называется замкнутая плоская кривая, все точки которой одинаково удалены от данной точки, называемой центром и лежащей в той же плоскости, что и кривая. Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести только одну окружность. Часть плоскости, ограниченная окружностью, называется кругом. Различные термины, используемые при изучении окружности, представлены на рис. 6,а и 6,б.



Рис. 6. ОКРУЖНОСТЬ. а и б – элементы окружности; в – концентрические окружности; г – вписанные углы.

Концентрическими называются окружности, имеющие общий центр (рис. 6,в). Угол называется центральным углом окружности, если его вершина совпадает с центром окружности, а стороны – с ее радиусами. Например, угол АОВ на рис. 6,в – центральный угол обеих концентрических окружностей. Окружность делится на 360 равных долей, и число градусов в центральном угле, опирающемся на дугу окружности, равно числу 1/360 долей окружности, укладывающихся в этой дуге.

На рис. 6,гА – центральный угол, а В – вписанный угол (т.е. угол, вершина которого лежит на окружности), опирающийся на ту же дугу окружности, что и центральный угол А. Согласно одной из теорем геометрии вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается. Например,

Следовательно, вписанный угол С, опирающийся на половину окружности, – прямой.

Площадь круга равна четверти произведения длины его окружности на диаметр. Отношение длины окружности к диаметру приближенно равно 3,14159265 (p); площадь круга можно также записать в виде A = p r2, где r – радиус. История точного определения числа p (читается «пи») очень интересна сама по себе.

В 1882 немецкий математик Ф.Линдеман (1852–1939) доказал, что древняя проблема квадратуры круга, геометрически эквивалентная построению отрезка неразрешима, так как число p не удовлетворяет никакому алгебраическому уравнению с целыми коэффициентами.

Примеры элементарных геометрических доказательств. Утверждения элементарной геометрии распадаются на две группы: на теоремы, в которых доказательство утверждения предъявляется в явном виде, и задачи, в которых излагается способ построения, а затем проверяется его правильность. В качестве примера теоремы рассмотрим следующее доказательство.

Утверждение: в равнобедренном треугольнике углы, лежащие против равных стороны, равны.

Дано: треугольник АВС с равными сторонами АВ и АС.

Требуется доказать: РB = РC.

Шаги

Обоснование

1. Построить биссектрису AD угла ВАС. Биссектриса угла может быть построена.
2. АВ = АС. По предположению.
3. AD = AD. Тождество.
4. По построению.
5. Следовательно, треугольник ADB равен треугольнику ADC. По второму признаку равенства треугольников: две стороны и угол, заключенный между ними, одного треугольника равны двум сторонам и заключенному между ними углу другого треугольника.
6. Следовательно, Соответствующие углы равных треугольников равны.


Рассмотрим пример задачи на построение.

Задача: построить правильный шестиугольник, вписанный в окружность.

Дано: Окружность с центром О.

Шаги

Обоснование

1. Из точки О проводим любой радиус ОС. Две точки определяют прямую.
2. Из точки С как из центра радиусом ОС опишем дугу, пересекающую окружность в точке F. Построение.
3. Проведем OF и CF. Две точки определяют прямую.
4. Треугольник OCF равносторонний. По построению.
5. Углы в треугольнике OCF равны. По доказанной ранее теореме.
6. Следовательно, угол COF равен 1/3 развернутого угла, или 1/6 двух развернутых углов. Сумма углов треугольника равна развернутому углу.
7. Следовательно, дуга CF составляет 1/6 полной окружности. Центральный угол измеряется стягивающей его дугой.
8. Следовательно, хорда CF является стороной правильного шестиугольника. В одной и той же окружности равные дуги имеют равные хорды.


СТЕРЕОМЕТРИЯ

Плоскость. Плоскость (рис. 7,а) определяется: 1) тремя точками; 2) двумя пересекающимися прямыми; 3) двумя параллельными прямыми; и 4) прямой и точкой, лежащей вне ее. Прямые, которые не пересекаются и не лежат в одной плоскости, называются скрещивающимися.

На рис. 7,б изображены две параллельные плоскости А и В. Если пересечь их третьей плоскостью С, то линии пересечения будут параллельны.



Рис. 7. ПЛОСКОСТИ. а – задание плоскости; б – параллельные плоскости, пересеченные третьей плоскостью; в – двугранный угол; г – трехгранный угол.

Двугранным углом называется фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей ограничивающей их прямой. Его величина измеряется углом, полученным от пересечения этих плоскостей плоскостью, перпендикулярной к ним (рис. 7,в). Фигура, образованная тремя или более плоскостями, которые пересекаются в одной точке, называется многогранным углом (рис. 7,г).

Многогранник. Это фигура, ограниченная со всех сторон плоскими многоугольниками, называемыми гранями. Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону плоскости. Декарт и Эйлер доказали, что любой выпуклый многогранник обладает замечательным свойством, состоящим в том, что сумма числа его граней и вершин равна числу его ребер плюс два. Если все грани выпуклого многогранника – конгруэнтные правильные многоугольники, то многогранник называется правильным.

Призма. Призмой (рис. 8) называется многогранник, у которого две грани лежат в параллельных плоскостях и имеют форму конгруэнтных многоугольников, а остальные грани имеют форму параллелограммов. Параллелепипед (рис. 8,в) – это призма, основаниями которой служат параллелограммы. Площадь боковой поверхности любой призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения на длину бокового ребра. Объем равен произведению площади основания на высоту.



Рис. 8. ПРИЗМЫ. а – прямая треугольная призма; б – наклонная призма; в – прямоугольный параллелепипед.


Пирамида. Пирамидой (рис. 9) называется многогранник, основанием которого служит плоский многоугольник, а боковые грани имеют форму треугольников с общей вершиной. Площадь боковой поверхности правильной прямой пирамиды равна 1/2 произведения периметра основания на высоту боковой грани s (рис. 9). Объем любой пирамиды равен 1/3 произведения площади основания на высоту h.



Рис. 9. ПРЯМАЯ ПРАВИЛЬНАЯ ПИРАМИДА.


Цилиндр и конус. Цилиндром (или цилиндрической поверхностью) (рис. 10,а) называется поверхность, порожденная прямой Е, называемой образующей, которая движется параллельно самой себе по некоторой фиксированной кривой D, называемой директрисой. Если образующая, двигаясь по директрисе, всегда проходит через одну и ту же точку А, называемую вершиной (рис. 10,г), то получаемая в результате движения поверхность называется конусом. Призма – частный случай цилиндра, а пирамида – частный случай конуса. Формулы для площадей боковой поверхности и объемов призмы и пирамиды применимы, соответственно, к цилиндру и конусу.



Рис. 10. ЦИЛИНДРЫ И КОНУСЫ. а – образующая цилиндра; б – прямой круговой цилиндр; в – наклонный круговой цилиндр; г – образующая конуса.


Сфера. Сферой называется замкнутая поверхность, все точки которой равноудалены от одной точки, называемой центром. Если плоскость пересекает сферу, то линия пересечения имеет форму окружности. Наибольшая окружность (называемая большим кругом) получается, когда секущая плоскость проходит через центр сферы. Параллели, соответствующие различным широтам, – малые круги Земли, экватор и все меридианы – большие круги. Часть пространства, ограниченная сферой и содержащая ее центр, называется шаром. Площадь поверхности сферы равна A = 4p r2, объем шара –

См. также АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ;

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ; МНОГОГРАННИК.

ЛИТЕРАТУРА

Берже М. Геометрия, тт. 1–2. М., 1984
Погорелов А.В. Геометрия. М., 1984
Фоменко А.Т. Современная геометрия. Методы и приложения. М., 1985
Даан-Дальмедико А., Пейффер Ж. Пути и лабиринты. Очерки по истории математики. М., 1986

Искать информацию по запросу: ГЕОМЕТРИЯ на eBay аукцион * на аукционе EnterCenter * в магазине Озоне
Search All Ebay* AU* AT* BE* CA* FR* DE* IN* IE* IT* MY* NL* PL* SG* ES* CH* UK*
1611 King James Bible, 1st Edition

$119.99
End Date: Sunday Apr-21-2019 1:43:45 PDT
Buy It Now for only: $119.99
|
The Great Book of Magical Art, Hindu Magic & Indian Occultism by Laurence (1939)

$82.00
End Date: Saturday Apr-20-2019 17:59:22 PDT
Buy It Now for only: $82.00
|
Easton Press The Enchantress of Florence Salman Rushdie Signed First Edition

$40.00
End Date: Saturday Apr-20-2019 17:46:56 PDT
Buy It Now for only: $40.00
|
WHAT'S MY NAME- book by EDNA EICKE

$19.00
End Date: Thursday Apr-4-2019 8:06:57 PDT
Buy It Now for only: $19.00
|
Search All Amazon* UK* DE* FR* JP* CA* CN* IT* ES* IN* BR* MX
 
100 великих театров мира
100 великих театров мира
В новой книге популярной серии `100 великих` через призму истории выдающихся театров показана история мирового театра. В книге представлены такие известные театры, как `Гранд-опера`, `Ковент-гарден`, Театр Федора Волкова, Большой театр, `Ла Скала`, МХАТ, `Современник` и многие другие, составляющие гордость зарубежных стран и России....

Цена:
225 руб

100 великих мыслителей
100 великих мыслителей
`100 великих мыслителей` - очередная книга серии `100 великих`, освещающая жизнь и творческие поиски самых известных титанов человеческой мысли. В их ряду читатели встретят Конфуция и Пифагора, Платона и Аристотеля, Маркса и Канта, Розанова и Вернадского,Фрейда и Жан - Поля Сартра....

Цена:
399 руб

Чубарьян А. О. и др Российская историческая энциклопедия. Том 2
Российская историческая энциклопедия. Том 2
Многотомная Российская историческая энциклопедия подготовлена коллективом авторов Института всеобщей истории Российской академии наук.
Цель издания - представить читателям современный, избавленный от идеологических стереотипов взгляд на мировую и российскую историю, соответствующий достижениям российской и мировой исторической науки последних лет. Перед читателем предстанет глубокая, научно обоснованная и одновременно увлекательная история человечества, в центре которой находится человек.

Энциклопедия адресована самому широкому кругу читателей - научному сообществу, преподавателям, учащимся и всем, кто интересуется историей....

Цена:
1006 руб

Энциклопедия пиратов
Энциклопедия пиратов
Во все времена пираты притягивали к себе всеобщее внимание. В предлагаемой вниманию читателей `Энциклопедии пиратов` рассказывается о людях, бывших и моряками, и разбойниками, в ней описывается морская и пиратская культура, методы захвата и дележа добычи,в нее включены данные об истории пиратства и самых известных пиратских вожаках....

Цена:
239 руб

 Новая Российская энциклопедия. В 12 томах. Том 1. Россия
Новая Российская энциклопедия. В 12 томах. Том 1. Россия
Новая Российская энциклопедия (НРЭ) - фундаментальное универсальное справочно-энциклопедическое издание, представляющее читателям картину мира, отражающую современное состояние научного знания. По объему информации НРЭ превосходит все справочно-энциклопедические издания в России 1980 - 90 гг. В 12-ти томах энциклопедии - св. 60 тысяч статей, в том числе около 30 тысяч биографий, более 10 тысяч иллюстраций, карт, диаграмм, схем и таблиц.

1 том энциклопедии полностью посвящен России. В нем даны очерки, характеризующие все стороны жизни современной России и ее многовековой истории.

Новая Российская энциклопедия - первое многотомное универсальное энциклопедическое издание 21 в. - ориентирована на широкие круги читателей: от школьников и студентов до специалистов по различным отраслям знания, деятелей культуры, политиков, предпринимателей....

Цена:
4488 руб

 Большая Российская энциклопедия в 30 томах. Том 2.  Анкилоз-Банка
Большая Российская энциклопедия в 30 томах. Том 2. Анкилоз-Банка
Большая Российская энциклопедия - фундаментальное энциклопедическое издание, характеризующее природу, население, экономику, историю, науку, искусство, технику и другие важные аспекты современного состояния и прошлого мировой цивилизации. В подготовке энциклопедии принимают участие ведущие отечественные и зарубежные ученые....

Цена:
2519 руб

Ежегодник Большой Советской Энциклопедии. Выпуск 29
Ежегодник Большой Советской Энциклопедии. Выпуск 29
Ежегодник 1985 года - двадцать девятый выпуск в серии Ежегодников Большой Советской Энциклопедии. Как и предшествующие ему выпуски, он посвящен событиям истекшего года: изменениям в политике и экономике всех стран мира, культурной жизни, последним достижениям науки и техники и т. д. Будучи, таким образом, летописью года, Ежегодник может служить своеобразным путеводителем в быстро меняющемся современном мире.

В Ежегоднике 1985 года сохранены все разделы, ставшие постоянными в этой книге: о Советском Союзе, союзных и автономных советских республиках; о зарубежных странах; о международных организациях; обзоры экономики социалистических стран, развитых капиталистических и развивающихся стран; обзор массового движения трудящихся капиталистических государств; раздел о развитии связей между коммунистическими и рабочими партиями; разделы о науке и технике; о международной спортивной жизни; биографические справки и др.

Сообщаемые в Ежегоднике 1985 года сведения ограничены, как правило, хронологическими рамками 1984 года. Некоторые цифры, опубликованные в предыдущих выпусках, изменены, так как они уточнялись. Данные за 1984 год в ряде случаев предварительные. В основу экономических показателей для СССР и союзных республик положены материалы Центральных статистических управлений СССР и союзных республик, для зарубежных стран - официальные национальные статистические и другие справочные издания, а также публикации ООН. Сведения о здравоохранении, народном образовании, печати и транспорте в союзных советских республиках помещены в соответствующих разделах статьи "СССР".

Как и ранее, благодаря содействию организаций ряда социалистических стран, обществ "Австрия - СССР", "Бельгия - СССР", "Италия-СССР", "Франция-СССР", а также отдельных организаций и лиц из зарубежных стран в Ежегоднике помещены статьи, знакомящие с культурной жизнью соответствующих стран....

Цена:
329 руб

 Новая Российская Энциклопедия. В 12 томах. Том 8(1). Квазичастицы - Когг
Новая Российская Энциклопедия. В 12 томах. Том 8(1). Квазичастицы - Когг
Фундаментальное универсальное справочно-информационное издание, представляющее читателям картину мира, отражающую современное состояние научного знания.

Энциклопедия ориентирована на широкие круги читателей: от школьников и студентов до специалистов по различным отраслям знаний, деятелей культуры, политиков, предпринимателей....

Цена:
3128 руб

100 великих кладов
100 великих кладов
С глубокой древности тысячи людей мечтали найти настоящий клад, потрясающий воображение своей ценностью или общественной значимостью. В последние два столетия все больше кладов попадает в руки профессиональных археологов, но среди нашедших клады есть и авантюристы, и просто случайные люди. Для одних находка крупного клада является выдающимся научным открытием, для других - обретением национальной или религиозной реликвии, а кому-то важна лишь рыночная стоимость обнаруженных сокровищ.
Кто знает, сколько еще нераскрытых загадок хранят недра земли, глубины морей и океанов? В историях о кладах подчас невозможно отличить правду от выдумки, а за отдельными еще не найденными сокровищами тянется длинный кровавый след...
Эта книга рассказывает о ста великих кладах всех времен и народов - реальных, легендарных и фантастических - от сокровищ Ура и Трои, золота скифов и фракийцев до призрачных богатств ордена тамплиеров, пиратов Карибского моря и запорожских казаков....

Цена:
599 руб

Энциклопедия Книжного клуба "ХХI" век. Том 6. Г-Д
Энциклопедия Книжного клуба "ХХI" век. Том 6. Г-Д
Двадцатитомная популярная энциклопедия, охватывающая большинство областей знаний.
Адресована широкому кругу читателей....

Цена:
126 руб

2007 Copyright © EduSPB.ru Мобильная Версия v.2015 | PeterLife и компания
Пользовательское соглашение использование материалов сайта разрешено с активной ссылкой на сайт
Угостить администратора сайта, чашечкой кофе *https://paypal.me/peterlife
Rambler's Top100 Яндекс цитирования Яндекс.Метрика